دانشمندان از هندسه جهانی زمین شناسی پرده بردارند

در یک روز خفیف پاییز در سال 2016 ، ریاضیدان مجارستانی گور دوموکوس وارد آستان جئوفیزیک داگلاس جرومک در فیلادلفیا شد. Domokos چمدان های خود ، سرماخوردگی و راز سوزان را با خود حمل کرد.

این دو مرد در پشت خانه ای در پشت خانه قدم زدند ، جایی که همسر جرولماک یک سبد تاکو را اداره کرد. پاهای آنها بر روی سنگ آهک خرد شده خرد شد. Domokos به پایین اشاره کرد.

"هر یک از این قطعات ماسه ای چند جنبه دارند؟"او گفت. سپس پوزخند زد."اگر من به شما بگویم که این تعداد همیشه در حدود شش بود؟"سپس او یک سؤال بزرگتر پرسید ، که امیدوار بود راه خود را به مغز همکارش کرم کند. اگر جهان از مکعب ها ساخته شود چه می شود؟

در ابتدا ، Jerolmack اعتراض کرد. خانه ها را می توان از آجر ساخته شد ، اما زمین از سنگ ساخته شده است. بدیهی است ، سنگها متفاوت هستند. میکا در برگه ها می چرخد. کریستال ها در محورهای کاملاً تعریف شده ترک می کنند. اما دوموكوس استدلال كرد ، اما از ریاضیات به تنهایی ، هر سنگ هایی كه به طور تصادفی شکسته می شوند ، به شکل هایی كه به طور متوسط شش چهره و هشت راس دارند ، شکسته می شود. با هم در نظر گرفته می شود ، همه آنها تقریب های سایه ای خواهند بود که بر روی نوعی مکعب ایده آل همگرا هستند. وی گفت که دوموکوس آن را از نظر ریاضی ثابت کرده بود. اکنون او به کمک جرولماک نیاز داشت تا نشان دهد این همان کاری است که طبیعت انجام می دهد.

جروماک ، استاد دانشگاه پنسیلوانیا گفت: "این هندسه با پیش بینی دقیقی بود که در دنیای طبیعی به وجود آمده بود و اساساً هیچ فیزیکی درگیر آن نبود.""چگونه در جهنم طبیعت اجازه می دهد این اتفاق بیفتد؟"

در طی چند سال آینده ، این زوج دید هندسی خود را از قطعات میکروسکوپی گرفته تا طغیان سنگ به سطوح سیاره ای و حتی به Timaeus افلاطون تعقیب کردند و این پروژه را با هوای اضافی عرفانی از بین بردند. فیلسوف بنیادی یونانی ، که در حدود 360 پیش از میلاد نوشت ، پنج ماده جامد افلاطونی خود را با پنج عنصر فرضی مطابقت داده بود: زمین ، هوا ، آتش ، آب و چیزهای ستاره. با هر دو پیش بینی یا شانس یا کمی از هر دو ، مکعب های جفت شده افلاطون ، پشته ترین شکل ، با زمین. جرولماک گفت: "من دوست داشتم ، اوه ، خوب ، اکنون ما کمی متافیزیکی می شویم."

مجله Quanta را به صندوق ورودی خود تحویل دهید

Gábor Domokos (سمت چپ) و داگلاس جرومک پیش از این در پروژه ای که ریاضیات و ژئوفیزیک را در بر می گرفت ، همکاری کرده بودند.

حسن نیت ارائه دهنده Gábor Domokos ؛اریک سوکار ، دانشگاه پنسیلوانیا

مقدمه

اما آنها مدام میانگین‌های مکعبی را در طبیعت به‌علاوه چند مکعب غیرمکعبی که می‌توان با همان نظریه‌ها توضیح داد، پیدا کردند. آنها به یک چارچوب ریاضی جدید رسیدند: یک زبان توصیفی برای بیان اینکه چگونه همه چیز از هم می پاشد. هنگامی که مقاله آنها در اوایل امسال منتشر شد، عنوان آن مانند رمانی خاص هری پاتر بود: «مکعب افلاطون و هندسه طبیعی تکه تکه شدن».

چندین ژئوفیزیکدان که توسط Quanta با آنها تماس گرفته شده است می گویند که همین چارچوب ریاضی ممکن است به مشکلاتی مانند درک فرسایش از سطح صخره های ترک خورده یا جلوگیری از لغزش سنگ های خطرناک کمک کند. میکائل آتال، ژئومورفولوژیست دانشگاه ادینبورگ، یکی از دو دانشمندی که این مقاله را قبل از انتشار بررسی کردند، گفت: «این واقعاً بسیار هیجان‌انگیز است. داور دیگر، ژئوفیزیکدان Vanderbilt، دیوید فوربیش، گفت: "مقاله ای مانند این مرا به این فکر می کند: آیا می توانم به نحوی از این ایده ها استفاده کنم؟"

تمام وقفه های ممکن

مدتها قبل از اینکه به فیلادلفیا بیاید، دوموکوس سوالات ریاضی بی ضررتری داشت.

فرض کنید چیزی را به چند قسمت می شکنید. اکنون یک موزاییک دارید: مجموعه‌ای از اشکال که می‌توانستند بدون همپوشانی یا شکاف، مانند کف حمام رومی باستان، به یکدیگر کاشی شوند. بعلاوه فرض کنید آن اشکال همگی محدب هستند و هیچ فرورفتگی ندارند.

ابتدا Domokos می خواست ببیند آیا هندسه به تنهایی می تواند پیش بینی کند که چه اشکالی به طور متوسط این نوع موزاییک را می سازند. سپس او می‌خواست تمام مجموعه‌های ممکن دیگر از اشکال را که می‌توانید پیدا کنید، توصیف کند.

در دو بعد، شما می توانید این را بدون شکستن چیزی امتحان کنید. یک ورق کاغذ بردارید. یک برش تصادفی ایجاد کنید که صفحه را به دو قسمت تقسیم می کند. سپس یک برش تصادفی دیگر از هر یک از آن دو چند ضلعی ایجاد کنید. این روند تصادفی را چند بار دیگر تکرار کنید. سپس تعداد رئوس تمام تکه های کاغذ را بشمارید و میانگین بگیرید.

برای یک دانشجوی هندسه، پیش‌بینی پاسخ خیلی سخت نیست. دوموکوس گفت: "من با شما شرط می بندم که یک جعبه آبجو برای شما ایجاد کنم که بتوانم آن فرمول را ظرف دو ساعت بدست آورید."قطعات باید به طور متوسط چهار راس و چهار ضلع، به طور متوسط به یک مستطیل باشد.

شما همچنین می توانید همین مشکل را در سه بعد در نظر بگیرید. حدود 50 سال پیش، فیزیکدان هسته ای روسی، مخالف و برنده جایزه صلح نوبل، آندری دیمیتریویچ ساخاروف، هنگام خرد کردن کلم به همراه همسرش همین مشکل را مطرح کرد. تکه های کلم به طور متوسط باید چند رأس داشته باشند؟ساخاروف این مشکل را به ریاضیدان افسانه ای شوروی ولادیمیر ایگورویچ آرنولد و یک دانش آموز منتقل کرد. اما تلاش آنها برای حل آن ناقص بود و تا حد زیادی فراموش شده است.

تخته سنگ های Moeraki در نیوزیلند.

مقدمه

Domokos بدون آگاهی از این کار، اثباتی نوشت که به عنوان پاسخ به مکعب ها اشاره کرد. با این حال، او می خواست دوباره بررسی کند، و او مشکوک بود که اگر پاسخی برای همان مشکل از قبل وجود داشته باشد، ریاضیدانان آلمانی، ولفگانگ ویل و رولف اشنایدر، یک تایتان 80 ساله، در حجمی غیرقابل درک قفل می شوند. رشته هندسهDomokos یک ریاضیدان حرفه ای است، اما حتی او متن را دلهره آور می دانست.

دوموکوس گفت: "کسی را پیدا کردم که مایل بود آن قسمت از کتاب را برای من بخواند و آن را به زبان انسانی ترجمه کند."او این قضیه را برای هر تعداد بعد پیدا کرد. این تایید کرد که مکعب ها در واقع پاسخ سه بعدی هستند.

اکنون Domokos دارای اشکال متوسطی بود که با شکافتن یک سطح صاف یا یک بلوک سه بعدی تولید می شد. اما پس از آن تلاش بزرگتری پدیدار شد. دوموکوس متوجه شد که او همچنین می‌تواند یک توصیف ریاضی نه فقط از میانگین‌ها، بلکه از پتانسیل ایجاد کند: وقتی چیزی از هم می‌پاشد، کدام مجموعه‌ای از اشکال حتی از نظر ریاضی ممکن است؟

به یاد داشته باشید، اشکالی که پس از از هم پاشیدن چیزی تولید می‌شوند، موزاییک هستند. آنها بدون هیچ همپوشانی یا شکافی در کنار هم قرار می گیرند. برای مثال، آن مستطیل های برش خورده می توانند به راحتی با هم کاشی شوند و موزاییک را در دو بعدی پر کنند. شش ضلعی ها نیز می توانند، در حالت ایده آلی که ریاضیدانان آن را الگوی ورونوی می نامند. اما پنج ضلعی؟هشت ضلعی؟کاشی کاری نمی کنند

به منظور طبقه بندی صحیح موزاییک ها، Domokos شروع به توصیف آنها با دو عدد کرد. اولی میانگین تعداد رئوس در هر سلول است. دومی میانگین تعداد سلول های مختلف است که هر راس را به اشتراک می گذارند. بنابراین در موزاییکی از کاشی های شش ضلعی حمام، برای مثال، هر سلول یک شش ضلعی است که دارای شش رأس است. و هر رأس با سه شش ضلعی مشترک است.

در یک موزاییک، تنها ترکیب معینی از این دو پارامتر کار می‌کند و یک نوار باریک از اشکال را تشکیل می‌دهد که احتمالاً می‌تواند ناشی از فروپاشی چیزی باشد.

یک بار دیگر ، این Swath کامل در دو بعد بسیار آسان بود ، اما در سه مورد بسیار سخت تر بود. البته مکعب ها به خوبی به صورت سه بعدی جمع می شوند ، اما ترکیبات دیگر شکل نیز از جمله مواردی که نسخه سه بعدی از الگوی Voronoi را تشکیل می دهند ، نیز به خوبی جمع می شوند. برای ادامه این مشکل ، Domokos خود را فقط با سلولهای منظم و محدب که همان راس ها را به اشتراک می گذارند ، فقط به موزائیک ها محدود کرد. سرانجام او و ریاضیدان Zsolt Lángi حدس جدیدی را ابداع کردند که منحنی همه موزاییک های سه بعدی ممکن را مانند این ترسیم کرد. آنها آن را در ریاضیات آزمایشی منتشر کردند ، و "سپس من همه چیز را به رولف اشنایدر ، که البته خدا است ، ارسال کردم."

دوموکوس با خنده گفت: "من از او پرسیدم که آیا او می خواهد توضیح دهد که چگونه این حدس را به دست آورده ام ، اما او به من اطمینان داد که او می داند.""این به معنای صد برابر بیشتر از پذیرش در هر ژورنال بود."

مهمتر از همه ، Domokos اکنون چارچوبی داشت. ریاضیات راهی برای طبقه بندی تمام الگوهای سطحی و بلوک ها ارائه می داد. هندسه همچنین پیش بینی می کرد که اگر یک سطح صاف را به طور تصادفی تکه تکه کنید ، به مستطیل های خشن شکسته می شود ، و اگر در سه بعد همین کار را می کردید ، مکعب های خشن تولید می کرد.

اما برای هر یک از این موارد برای هر کسی غیر از چند ریاضیدان مهم است ، دوموکوس مجبور بود ثابت کند که این قوانین یکسان خود را در دنیای واقعی نشان می دهند.

از هندسه تا زمین شناسی

در زمانی که دوموکوس در سال 2016 از فیلادلفیا عبور کرد ، او قبلاً پیشرفتی در مورد مشکل دنیای واقعی داشته است. او و همکارانش در دانشگاه فناوری و اقتصاد بوداپست ، تکه هایی از دولومیت را که از چهره صخره ای در کوه Hármashatárhegy در بوداپست فرسوده شده بودند ، جمع کرده بودند. طی چند روز ، یک فناوری آزمایشگاهی بدون پیش فرض در مورد توطئه جهانی نسبت به مکعب ها چهره ها و راس های محاسبه شده بر روی صدها غلات. به طور متوسط؟شش چهره ، هشت رئوس. Domokos با همکاری János Török ، متخصص در شبیه سازی های رایانه ای و Ferenc Kun ، متخصص فیزیک تکه تکه شدن ، دریافت که میانگین مکعب در انواع سنگ مانند گچ و سنگ آهک نیز ظاهر می شود.

با ریاضیات و شواهد بدنی اولیه ، دوموکوس ایده خود را به یک جرولماک حیرت زده تبدیل کرد. جرولماک گفت: "به نوعی او طلسم بازی می کند ، و همه چیز دیگر برای یک لحظه ناپدید می شود."

اتحاد آنها آشنا بود. سالها پیش ، Domokos با اثبات وجود Gömböc ، یک شکل سه بعدی کنجکاو که بدون توجه به اینکه چگونه آن را فشار می دهید ، به یک شکل سه بعدی کنجکاو که در یک موقعیت استراحت قائم می چرخد ، مشهور شده بود. برای دیدن اینکه آیا Gömböcs در دنیای طبیعی وجود داشته است ، وی Jerolmack را استخدام کرده بود ، که به استفاده از این مفهوم برای توضیح گرد شدن سنگریزه روی زمین و مریخ کمک کرده است. اکنون Domokos دوباره در ترجمه مفاهیم ریاضی بلند به سنگ تحت اللفظی درخواست کمک کرد.

این دو مرد در یک برنامه جدید مستقر شدند. برای اثبات مکعب های افلاطون در واقع در طبیعت ، آنها نیاز به نشان دادن بیش از یک پژواک تصادفی بین هندسه و چند مشت سنگ داشتند. آنها باید همه سنگها را در نظر بگیرند و سپس نظریه ای قانع کننده را در مورد چگونگی نفوذ ریاضیات انتزاعی از طریق ژئوفیزیک کثیف و حتی واقعیت مسخره تر ترسیم کنند.

جروماک گفت: در ابتدا ، "به نظر می رسید همه چیز کار می کند."ریاضیات Domokos پیش بینی کرده بود که قسمتهای سنگی باید به طور متوسط به مکعب ها برسند. به نظر می رسید تعداد فزاینده ای از سنگهای سنگی واقعی از آن خوشحال هستند. اما جرومک به زودی فهمید که اثبات این تئوری نیز نیاز به مقابله با موارد قانون شکنی دارد.

از این گذشته ، همان هندسه واژگان را برای توصیف بسیاری از الگوهای موزاییک دیگر که می تواند در دو بعد و سه بعد وجود داشته باشد ، ارائه می دهد. در بالای سر او ، Jerolmack می تواند چند سنگ شکسته در دنیای واقعی را که به نظر نمی رسد مانند مستطیل یا مکعب ها باشد ، تصویر کند اما هنوز هم می تواند در این فضای بزرگتر طبقه بندی شود.

شاید این نمونه ها نظریه جهان مکعب را کاملاً غرق کنند. امیدوارکننده تر ، شاید آنها فقط در شرایط مشخص بوجود بیایند و درسهای جداگانه ای برای زمین شناسان داشته باشند. جرولماک گفت: "من گفتم که می دانم که در همه جا کار نمی کند ، و باید بدانم که چرا."

طی چند سال آینده ، کار در هر دو طرف اقیانوس اطلس ، جرومک و بقیه تیم شروع به ترسیم کردند که نمونه های واقعی سنگهای شکسته در چارچوب دوموکوس قرار گرفتند. هنگامی که این تیم سیستم های سطحی را که اساساً دو بعدی هستند ، بررسی کردند-ترک خوردگی در آلاسکا ، یک طغیان دولومیت و ترک های در معرض یک بلوک گرانیتی-آنها چند ضلعی را پیدا کردند که به طور متوسط چهار طرف و چهار راس ، دقیقاً مانند ورق کاغذ خرد شدهوادبه نظر می رسید که هر یک از این موارد زمین شناسی به نظر می رسد که سنگ ها به سادگی شکسته شده اند. در اینجا پیش بینی های Domokos برگزار شد.

در همین حال ، نوع دیگری از دال شکسته شده ، همان چیزی است که جروماک به آن امیدوار بود: یک استثناء با داستان متمایز خود برای گفتن. آپارتمان های گل که خشک ، ترک می شوند ، خیس می شوند ، بهبود می یابند و سپس دوباره ترک می شوند ، به دنبال الگوی تقریبا شش ضلعی Voronoi ، سلول هایی دارند که به طور متوسط شش طرف و شش راس دارند. سنگ ساخته شده از گدازه خنک کننده ، که از سطح پایین به سمت پایین می رود ، می تواند ظاهری مشابه داشته باشد.

به طور واضح ، این سیستم ها تمایل به شکل دادن به نوع دیگری از استرس دارند - هنگامی که نیروها به جای فشار دادن آن به سمت بیرون روی سنگ کشیدند. هندسه زمین شناسی را نشان داد. و Jerolmack و Domokos فکر می کردند که این الگوی Voronoi ، حتی اگر نسبتاً نادر باشد ، ممکن است در مقیاس های بسیار بزرگتر از آنچه قبلاً در نظر گرفته بودند اتفاق بیفتد.< SPAN> نوع دیگری از دال شکسته شده ، در عین حال ، ثابت کرد که جرولماک به آن امیدوار بوده است: یک استثناء با داستان متمایز خود برای گفتن. آپارتمان های گل که خشک ، ترک می شوند ، خیس می شوند ، بهبود می یابند و سپس دوباره ترک می شوند ، به دنبال الگوی تقریبا شش ضلعی Voronoi ، سلول هایی دارند که به طور متوسط شش طرف و شش راس دارند. سنگ ساخته شده از گدازه خنک کننده ، که از سطح پایین به سمت پایین می رود ، می تواند ظاهری مشابه داشته باشد.