نوسانات

اگر شما می خواهید برای پیدا کردن اسرار پنهان جهان, شما باید از نظر انرژی فکر می کنم, فرکانس, و ارتعاش. این نقل قول معروف از تسلا نمی تواند به حقیقت نزدیکتر باشد. نوسان یک حرکت دوره ای است که می تواند در یک چرخه مانند موج تکرار شود. به دلیل فرضیه دوبروی ما متوجه شدیم که تمام مواد دارای خواص ذرات و امواج هستند. نوسانات یکی از مهمترین پدیده های فیزیک است که برای توصیف ماهیت ذرات در مکانیک کوانتوم است. همچنین برای درک نحوه عملکرد جامعه در قرن 21 مهم هستند. همه دستگاه های الکترونیکی, اینترنت, سیگنال های تلویزیون, سیستم های ارتباطی, و تصویربرداری پزشکی همه با استفاده از امواج الکترومغناطیسی. حالا که می دانیم نوسانات چقدر مهم هستند بیایید درباره این نوسانات و ویژگی هایشان بیشتر بدانیم.

تعریف نوسانات

حرکت نوسانی حرکتی است که تکرار می شود. بنابراین نوسان یک حرکت رفت و برگشت در مورد موقعیت تعادل است. موقعیت تعادل مکانی است که نیروی خالص وارد بر سیستم صفر است. رشته ارتعاشی گیتار نمونه ای از نوسان است.

دوره و فرکانس نوسانات

فرکانس به عنوان معکوس دوره تعریف می شود. مثلا, یک دوره بزرگ حاکی از یک فرکانس کوچک.

جایی که \(اف\) فرکانس در هرتز است, \(\ریاضیات\), و \(تی\) دوره در ثانیه است, \(\ریاضیات\) .

دوره زمانی است که برای تکمیل یک چرخه نوسان لازم است. دوره چرخه نوسان مربوط به فرکانس زاویه ای حرکت جسم است. عبارت فرکانس زاویه ای به نوع جسمی که در حال نوسان است بستگی دارد. معادله ای که فرکانس زاویه ای مشخص شده با \(\امگا\) را به فرکانس مشخص شده با \(اف\) مرتبط می کند

جایگزین کردن \(\/فراک\) برای \(تی\) و مرتب سازی مجدد برای \(تی\) ما دریافت می کنیم

جایی که \(\امگا\) فرکانس زاویه ای در رادیان در ثانیه است, \(\کسر<\mathrm><\mathrm s>\). اگر به این موضوع فکر کنیم این عبارت منطقی است زیرا یک جسم با فرکانس زاویه ای بزرگ برای ایجاد یک چرخه نوسان کامل بسیار کمتر طول می کشد.

اسیلاتورهای هارمونیک

نوسان هارمونیک نوعی نوسان است که نیروی خالص وارد بر سیستم یک نیروی بازیابی است. نیروی بازگرداندن نیرویی است که علیه جابجایی عمل می کند تا سعی کند سیستم را به تعادل بازگرداند. نمونه ای از این قانون هوک است که توسط

جایی که \(متر\) جرم جسم در پایان بهار در کیلوگرم است, \(\ماترم\), \(ا_ایکس\) شتاب جسم در \(\متن\) در متر بر ثانیه مربع است, \(\کسر<\mathrm m><\mathrm s^2>\ ), \\ (ک\) ثابت فنری است که سختی فنر را بر حسب نیوتن بر متر اندازه گیری می کند, \(\کسر<\mathrm><\mathrm m>\ ), و \(\دلتا ایکس\) جابجایی در متر است, \(\ماترم\).

اگر این تنها نیروی اقدام در سیستم است, سیستم یک اسیلاتور هارمونیک ساده به نام . همانطور که از نامش پیداست این یکی از ساده ترین موارد است.

بیشتر نوسانات در هوا یا سایر محیط ها رخ می دهد که نوعی نیرو متناسب با سرعت سیستم وجود دارد مانند مقاومت هوا یا نیروهای اصطکاک. اینها ممکن است به عنوان نیروهای میرایی عمل کنند. معادله نیروی میرایی است

جایی که \(ج\) یک ثابت میرایی بر حسب کیلوگرم در ثانیه است, \(\کسر<\mathrm><\mathrm s>\ ), و \(و\) سرعت در متر در ثانیه است, \(\کسر<\mathrm><\mathrm s>\) .

در نتیجه بخشی از انرژی سیستم در غلبه بر این نیروی میرایی اتلاف می شود بنابراین دامنه نوسان با رسیدن به صفر شروع به کاهش می کند. به این نوع اسیلاتورهای هارمونیک نوسانگرهای میرایی گفته می شود. ما می توانیم قانون دوم نیوتن را برای موردی بنویسیم که نیروی ترمیم کننده و نیروی میرایی بر سیستم وارد شود,

با نوشتن عبارت فوق به عنوان یک معادله دیفرانسیل به این نتیجه می رسیم

راه حل معادله فوق یک تابع نمایی است. اصطلاح میرایی به طور تصاعدی نوسانات را از بین می برد تا زمانی که سیستم برای استراحت پوسیده شود.

ایکس=ای_0الکترونیکی^<-\gamma t>\چون\چپ(وزنی+\فی\راست), \] جایی که \(\گاما = \فراک ج\)

با تمایز و جایگزینی در معادله دیفرانسیل می توانیم ثابت کنیم که این یک راه حل است:

اکنون می توانیم به معادله دیفرانسیل برگردیم و ثابت کنیم که برای این معادله راه حلی پیدا کرده ایم.

اسیلاتورهای میرایی با نوسانات و دامنه ای که با گذشت زمان کاهش می یابد نامیده می شوند اسیلاتورهای کم میرایی . در حالی که کسانی که نوسان نمی کنند و بلافاصله به موقعیت تعادل فروپاشی می شوند نامیده می شوند اسیلاتورهای بیش از حد میرایی . حد مرز بین میرایی و میرایی بیش از حد را میرایی بحرانی می نامند . برای تایید نوسانگر میرایی تحت میرایی بحرانی ما بررسی کنید که ضریب میرایی \(\گاما\) به فرکانس زاویه ای طبیعی سیستم برابر است \(\امگا_0\). ضریب میرایی \(\گاما\) را می توان با معادله زیر تعیین کرد:

جایی که \(ج\) یک ثابت میرایی است که بر حسب واحد کیلوگرم در ثانیه اندازه گیری می شود, \(\کسر<\mathrm><\mathrm s>\ ), و \( متر\) جرم سیستم در کیلوگرم است, \(\ماترم\).

فرکانس زاویه ای برای نوسان ساز میرایی را می توان از نظر ضریب میرایی و فرکانس زاویه ای طبیعی تعریف کرد.

این 3 مورد را می توان به شرح زیر خلاصه کرد:

• Underdamping: \(\omega_0>\گاما\)
• میرایی بحرانی: \(\امگا _0=\گاما\)
• مصرف بیش از حد: \(\امگا _0<\gamma\)

همچنین نوع دیگری از نوسان ساز به نام نوسانگرهای اجباری وجود دارد . در اینها نوسانات ناشی از یک نیروی خارجی است که یک نیروی دوره ای است. اگر فرکانس این نیرو برابر با فرکانس طبیعی سیستم باشد باعث ایجاد اوج در دامنه نوسان میشود. فرکانس طبیعی فرکانسی است که یک جسم هنگام جابجایی از تعادل نوسان می کند.

نوسانات در یک سیستم جرم فنری

ما ساده ترین حالت حرکت هارمونیک ساده را برای درک نوسانات در یک سیستم جرم فنر در نظر خواهیم گرفت. برای بهار, ما در حال حاضر می دانیم که معادله برای قانون دوم نیوتن:

تنظیم مجدد برای شتاب ما

del ا_ایکس=-\فراک کیلومتر\دلتا ایکس. $ $

بنابراین, مقایسه معادله برای یک بهار با معادله کلی برای حرکت هارمونیک \(یک = - \امگا _0^2ایکس\), ما می توانیم فرکانس زاویه ای استخراج \(\امگا\) برای یک بهار, که توسط معادله داده شده

بیان صریح تر به عنوان

جایی که \(متر\) جرم جسم در انتهای فنر بر حسب کیلوگرم است, \(\ماترم\), و \(ک\) ثابت فنری است که سختی فنر را بر حسب نیوتن بر متر اندازه گیری می کند, \(\کسری<\mathrm N><\mathrm m>\).

فرمول دوره زمانی یک سیستم جرمی فنری نوسانی است

دوره نوسان برای یک سیستم جرم فنری با جرم \(4\; \ماترم\) و یک ثابت فنری \(1\;<\textstyle\frac<\mathrm N><\mathrm m>>\)?

نوسانات نموداری

اگر جابجایی را به عنوان تابعی از زمان برای یک جسم تحت حرکت هارمونیک ساده ترسیم کنیم, ما دوره را به عنوان زمان بین دو قله متوالی یا هر دو نقطه مشابه روی دو موج با یک فاز مشخص می کنیم. برای تعیین دامنه به بلندترین قله در فاصله نگاه می کنیم.

جابجایی در مقابل زمان برای یک سیستم در حرکت هارمونیک ساده. از این نمودار می توان دامنه و دوره نوسان را شناسایی کرد, یاپارینا, ویکیانبار (سی سی 0 1.0).

ما همچنین می توانیم جابجایی را به عنوان تابعی از زمان برای اسیلاتورهای میرایی نمودار کنیم تا ویژگی های خود را بصری درک و مقایسه کنیم. میرایی بحرانی سریعترین راه را برای رسیدن دامنه به صفر فراهم می کند. بیش از میرایی شما را سریعتر به موقعیت صفر, اما نوسانات پوسیدگی هنوز هم رخ می دهد. تحت نوسانات میرایی زمان بیشتری برای رسیدن به دامنه صفر نیاز دارد.

نوسانات-نکات کلیدی

• نوسان یک حرکت رفت و برگشت در مورد موقعیت تعادل است. موقعیت تعادل مکانی است که نیروی خالص وارد بر سیستم صفر است.
• نوسان هارمونیک نوعی نوسان است که نیروی خالص وارد بر سیستم یک نیروی بازیابی است. نیروی بازگرداندن نیرویی است که علیه جابجایی عمل می کند تا سعی کند سیستم را به تعادل بازگرداند.
• دوره زمانی است که برای تکمیل یک چرخه نوسان لازم است. فرکانس به عنوان متقابل دوره تعریف می شود, \ (اف=\فراک1تی\).
• اگر نیروی بازگرداندن تنها نیروی اقدام بر روی سیستم است, سیستم یک اسیلاتور هارمونیک ساده به نام. یک نیروی میرایی نیز ممکن است بر روی یک سیستم نوسانی عمل کند. نوعی نیرو متناسب با سرعت سیستم مانند مقاومت هوا یا نیروهای اصطکاک است.

برای اسیلاتورهای میرایی بخشی از انرژی سیستم در غلبه بر نیروی میرایی تلف می شود بنابراین دامنه نوسان با رسیدن به صفر شروع به کاهش می کند. اسیلاتورهای میرایی با نوسانات و دامنه ای که با گذشت زمان کاهش می یابد نامیده می شوند اسیلاتورهای کم میرایی . نوسانگرهای بیش از حد میرایی هستند که نوسان نمی کنند و بلافاصله به موقعیت تعادل می رسند .

حد مرز بین یک اسیلاتور کم میرایی و بیش از حد میرایی بحرانی نامیده می شود . برای تایید نوسانگر میرایی بحرانی ما بررسی می کنیم که ضریب میرایی \(\گاما=\فرکانس سی\) برابر با فرکانس زاویه ای سیستم \(\امگا=2\پی اف\) است . این سه مورد را می توان به شرح زیر خلاصه کرد:

• Underdamping: \(\omega_0>\گاما\)
• میرایی بحرانی: \(\امگا _0=\گاما\)
• مصرف بیش از حد: \(\امگا _0<\gamma\)

در اسیلاتورهای فرو رفته نوسانات ناشی از یک نیروی خارجی است که یک نیروی دوره ای است. اگر فرکانس این نیرو برابر با فرکانس طبیعی سیستم باشد این امر باعث ایجاد اوج در دامنه نوسان می شود.